Hellerung D. Mathematische Abhandlungen. 1823.
Hellerung D. Mathematische Abhandlungen. - Mossdorf, 1823. - 170 p.
скачать книгу (pdf)
Редкое региональнное малотиражное издание начала XIX века. Содержит три математических трактата: о построении касательной к окружности; о магических квадратах; о применении проективной геометрии. Второй содержит оригинальный способ построения магических квадратов 7х7.
Трактат "Mathematische Abhandlungen", написанный Иоганном Христианом Даниэлем Хеллерунгом в 1823 году, представляет собой сборник математических исследований, охватывающих три основные темы: аналитическую геометрию многоугольников в круге, теорию магических квадратов и анализ движения двойных тел (включая известный "двойной конус"). Этот труд отражает уровень математической мысли начала XIX века и демонстрирует как традиционные методы, так и новаторские подходы к решению сложных задач.
Структура и содержание трактата
Аналитическое рассмотрение точек пересечения противоположных сторон многоугольников в круге. Хеллерунг исследует свойства многоугольников, вписанных в окружность, с акцентом на точки пересечения их противоположных сторон. Он использует аналитические методы, включая координатную геометрию и тригонометрические преобразования, для вывода условий, при которых такие точки лежат на одной прямой (например, для шестиугольников).
Ключевые моменты:
Доказательство того, что для шестиугольника три точки пересечения противоположных сторон коллинеарны (аналог теоремы Паскаля).
Обобщение на многоугольники с большим числом сторон. Работа предвосхищает дальнейшие исследования в проективной геометрии, хотя и не ссылается на современные ей работы Паскаля или Брианшона.
Теория совершенных магических квадратов
Вторая часть посвящена построению магических квадратов, где суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях равны. Хеллерунг предлагает систематический метод для квадратов нечётного порядка, основанный на арифметических прогрессиях и симметричных преобразованиях. Автор дает алгоритм для квадратов с нечётным числом клеток, использующий "ход коня" для заполнения.
Критика ограничений методов для квадратов чётного порядка. Хеллерунг развивает идеи, восходящие к средневековым арабским математикам, но его подход более аналитичен. Однако он упускает связь с работами Эйлера и других современников.
Третья часть трактата исследует движение тел, образованных вращением кривой вокруг оси (например, двойного конуса). Хеллерунг анализирует условия равновесия и динамику, используя дифференциальные уравнения и геометрические свойства. Условия, при которых двойной конус катится по прямой или кривой поверхности.
Критика ошибочных предположений более ранних авторов (например, Брюнинга). Этот раздел наиболее оригинален и демонстрирует глубокое понимание механики. Хеллерунг корректно описывает парадоксальное поведение двойного конуса, предвосхищая поздние работы по неголономным системам.
Хеллерунг ссылается на Гаусса, Лагранжа и Карно, но игнорирует некоторые ключевые работы (например, Паскаля). Это отражает изолированность автора, о чём он сам упоминает в предисловии. Трактат сочетает классическую геометрию с зарождающимся аналитическим подходом. Например, использование дифференциальных уравнений для описания движения конуса опережает своё время. Отсутствие строгих доказательств в некоторых разделах (например, для магических квадратов).
Недостаточное внимание к приложениям, что характерно для математики той эпохи.
Трактат Хеллерунга представляет собой любопытный синтез геометрической интуиции и аналитической строгости. Хотя он не стал фундаментальным трудом, подобным работам Гаусса или Коши, его исследования точек пересечения многоугольников и движения двойных тел содержат ценные идеи. Этот труд иллюстрирует переходный период от "классической" к "современной" математике, где формализм ещё не доминировал, но уже активно использовался.
