Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) – великий русский математик, гениальный создатель неевклидовой геометрии, иностранный член-корреспондент Геттингенского королевского научного общества. Открытие новой геометрии сыграло революционную роль в развитии не только геометрии, но и всей математической науки. Это прорывное открытие завершило практически двухтысячелетнюю историю проблемы обоснования геометрии, связанной с пятым постулатом Евклида и вытекающей из него теорией параллельных линий, положив конец бесплодным попыткам доказательства этого постулата.
Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября (1 декабря по новому стилю) 1792 г. в Нижнем Новгороде, в семье уездного землемера С.С. Шебаршина. Вскоре его отец умер, семья (мать и три сына, из которых Николай был средним) переехала в Казань. В 1802 г. энергичной Прасковье Александровне Лобачевской удалось добиться поступления своих сыновей в Казанскую гимназию на казенное содержание («казенный кошт»).
Казанская гимназия основанная в 1758 г. одной из первых в России под патронажем Московского университета, влачила довольно жалкое существование и была практически восстановлена в 1798 г. Очень удачный подбор преподавателей предопределил высокое качество естественнонаучной и прежде всего математической подготовки, особенно следует отметить воспитанника Московского университета Г.И. Карташевского, первого учителя математики Н.И. Лобачевского. Он был прекрасно образованным математиком, замечательным педагогом и очень отзывчивым человеком, имевшим очень большое влияние на Лобачевского. В гимназии царил довольно суровый режим, курс обучения был краток и труден. За время обучения в гимназии Лобачевский аттестовался как «весьма прилежный и благонравный ученик, в конце гимназического курса занимающийся с особенным прилежанием математикой и латинским языком».
В 1804 г. фактически при гимназии был открыт Казанский университет. Директор гимназии И.Ф. Яковкин был назначен профессором и инспектором университета, другие преподаватели гимназии, в том числе и Карташевский, - адъюнктами (доцентами) университета. В феврале 1807 г., пятнадцатилетним юношей, Лобачевский был «перечислен» из Казанской гимназии в Казанский университет.
Академик С. Я. Румовский, бывший с 1803 г. попечителем Казанского учебного округа, основное внимание уделил подбору высококвалифицированного преподавательского состава, что ему блестяще удалось. В только что открытый провинциальный университет приехали первоклассные иностранные математики, в том числе М.Ф. Бартельс, Ф.К. Броннер, К.Ф. Реннер и И.И. Литтров. У Бартельса Лобачевский учился чистой математике, у Литтрова – астрономии, у Броннера – физике и у Реннера – прикладной математике.
Профессор Бартельс, будучи выдающимся педагогом (он был в молодые годы и школьным учителем математики великого Гаусса), стал вторым учителем математики Н.И. Лобачевского. Он сумел поставить обучение математике в Казани на очень высокий уровень, опираясь в своем изложении на лучшие математические сочинения того времени. Интересно, что он излагал студентам и историю математики. Анализ он читал, следуя Эйлеру и Лакруа, дифференциальную геометрию – по Монжу, основные разделы теории чисел по Гауссу. Таким образом, студенты-математики воспитывались на трудах признанных классиков математики и механики. Лучших своих учеников он приучал к самостоятельной работе над их исследованиями. Бартельс высоко оценил царящий среди студенчества Казанского университета дух стремления к знаниям и культуре. Он отмечал, что «нашел в Казани, несмотря на незначительное число студентов, необыкновенно много любви к изучению математических наук».
Среди лучших учеников, а их насчитывалось около 20 человек, Бартельс быстро выделил Лобачевского, обладавшего блестящими математическими способностями. В 1811 г. Бартельс в отзыве попечителю учебного округа так характеризовал его успехи: «О искусстве последнего (Лобачевского) предложу хотя один пример. Лекции свои располагаю я так, что студенты мои в одно и то же время бывают слушателями и преподавателями. По сему правилу поручил я перед окончанием курса старшему Лобачевскому предложить под моим руководством пространную и трудную задачу о вращении, которая мною для себя уже была по Лагранжу в удобопонятном виде обработана. <…> Лобачевский при окончании последней лекции подал мне решение сей столь запутанной задачи …”. Он же говорил, что “Лобачевский оказал столько успехов, что даже во всяком немецком университете он был бы отличным”.
В 1811 г. Лобачевский по рекомендации Бартельса, который указывал на его “чрезвычайные успехи и таковые же дарования в науках математических и физических”, получил звание магистра и начал подготовку к научной деятельности под руководством Бартельса и к преподаванию арифметики и геометрии чиновникам, готовившимся к сдаче экзаменов на чин, а затем и к работе в самом университете. В марте 1814 г. Лобачевский был произведен в адъюнкты, а в августе 1816 г. в звании экстраординарного профессора получил кафедру математики. В 1822 г. он был назначен ординарным профессором.
В эти годы он читал теорию чисел, алгебру, математический анализ, сферическую тригонометрию, а также разделы элементарной математики, входившие в то время в университетский курс. Лобачевский также преподавал в течение 1819–1821 физику и астрономию, заменяя участвовавшего в кругосветной экспедиции Беллингсгаузена своего однокашника И.М. Симонова, впоследствии выдающегося астронома.
В 30–40-е гг. Лобачевский читал курсы интегрального исчисления, интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрирования уравнений с частными производными и вариационного исчисления. Читал Лобачевский по собственным конспектам, по воспоминаниям одного из слушателей, «в аудитории он заботился об изложении со всею ясностью, но любил более сам учить, нежели излагать по авторам, предоставив слушателям самим познакомиться с подробностями учебной литературы».
Лекции Лобачевский излагал простым и общедоступным языком, «без желания придать внешнюю красоту своей речи, без риторической эмфазы и крика; в словах его слышался и его логический ум и широкое образование. Спокойным ровным голосом он делал свои широкие обобщения, вызывал увлекательные образы и возбуждал мысль». В аудитории Лобачевский мог быть «глубокомысленным или увлекательным, смотря по предмету изложения; при этом заботился об изложении со всею ясностью, решая сначала частные задачи по способу синтетическому, а потом доказывая общие предложения по способу аналитическому… Он чертил на доске не скоро, старательно, формулы писал красиво, дабы воображение слушателей воспроизводило с удовольствием предметы преподавания».
Экзаменатором Лобачевский был весьма строгим, «требовал, чтобы студенты, отвечая на вопрос, выражались точно, отчетливо и с ясным пониманием того, что говорят, причем часто останавливал студента вопросами, касающимися не вычисления собственно, а понимания того, что делается; нередко сам брал мел в руки и чрезвычайно просто и понятно объяснял студенту то, что, видимо, он не усвоил себе». Несмотря на строгость, студенты любили Лобачевского и чувствовали в нем первоклассного ученого, отличающегося широтой математического и общего образования.
Мировую известность принесла Н.И. Лобачевскому его научная деятельность. Он создал новую, так называемую «воображаемую геометрию», изменив представление о самой математике, ее основах. До создания неевклидовой геометрии аксиома считалась безусловной истиной, не требующей доказательств в силу своей очевидности. Знаменитый пятый постулат о параллельных также не вызывал сомнений по своей сути, однако «сложный характер его формулировки и относительно меньшая самоочевидность обратили на него особенное внимание геометров».
Попытки его доказательства продолжались в течение почти 2 тыс. лет, но к началу XIX в. проблема параллельных оставалась неразрешенной. Лобачевский решил ее совершенно неожиданно и кардинально, заменив «очевидный» постулат о параллельных «неочевидным» предложением, являющимся его отрицанием. Это был абсолютно революционный факт, изменяющий представление о логическом строении всей математики.
Лобачевский очень рано заинтересовался теорией параллельных линий. Поразительно, что он никогда не читал в университете лекций по высшим разделам геометрии и первые идеи новой геометрии пришли к нему при глубоком анализе курса элементарной геометрии, которые он читал с самого начала своей преподавательской деятельности. В лекциях, которые он читал в 1815-1817 гг., он по примеру многих поколений предшественников, еще пытался найти доказательство постулата о параллельных, но впоследствии он сам увидел ошибочность своих рассуждений и нигде их не опубликовал. В рукописном учебнике элементарной геометрии (1823) Лобачевский уже отказывается от попыток доказательства пятого постулата: «Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут назваться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами».
11 (23) февраля 1826 г. Лобачевский представил текст, написанный на французском языке, под заглавием «Ехроsition succincte des principes de geometrie aves une demonstration rigoureuse du theoreme des parallelles». В препроводительной бумаге Лобачевский просил рассмотреть его работу и в случае одобрения напечатать ее в намеченных к тому времени к изданию «Ученых записках университета». Однако рецензенты не представили никакого отзыва, текст этот так никогда и не был напечатан, рукопись была утеряна.
В 1829 и 1830 гг. в 5 книжках университетского журнала «Казанский вестник» Лобачевский опубликовал сочинение «О началах геометрии». Оно содержит извлечения из «Ехроsition succincte…», дополненные развитием этого исследования. В ней изложены следующие вопросы:
1)абсолютная геометрия,
2)основы «воображаемой геометрии,
3)вопрос о геометрии реального пространства,
4)аналитическая и дифференциальная геометрия неевклидова пространства и вычисление длин, площадей, поверхностей и объемов,
5)сравнение интегралов и найденные вновь определенные интегралы.
Во вступлении Лобачевский совершенно определенно говорит о цели своего исследования: «Нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены мы допустить в теории параллельных линий… Здесь намерен я изъяснить, каким образом думаю пополнить такие пропуски в геометрии. Изложение всех моих исследований потребовало бы … представления совершенно в новом виде всей науки». Из этой оценки видно, что Лобачевский совершенно отчетливо представлял значение своих исследований для развития всей математической науки.
Заменив пятый постулат его отрицанием, Лобачевский построил «воображаемую геометрию» – собственную геометрическую систему, отличную от евклидовой. Она включала в себя ряд внешне парадоксальных теорем, например, теорему о том, что сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых и, вообще говоря, меняется от треугольника к треугольнику. Поэтому нужны были дополнительные доказательства ее жизненности. Эти доказательства Лобачевский искал в решении двух проблем: первая – какова геометрия видимого мира, вторая – как строго доказать непротиворечивость новой геометрии.
Для решения первой проблемы он, будучи хорошим астрономом, привлек астрономические данные о параллаксах неподвижных звезд и пришел к заключению, что «все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными телами, столько малы в сравнении с линиею, принятою в теории за единицу, что употребительные до сих пор уравнения прямолинейной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть справедливы».
Таким образом, Лобачевский показал, что наши геометрические представления сложились в результате наблюдений хотя и чрезвычайно продолжительных, но «происходивших в весьма небольшом участке мироздания, в пределах которого они возникли в упрощенном виде». Эти представления при попытке их распространения на все мироздания составляют иллюзию, подобно тому, как иллюзию составляло убеждение, что Земля плоская.
Для решения второй проблемы Лобачевский прибегнул к приему, не обладающему строгой доказательностью, но подкреплявшему уверенность в непротиворечивости новой геометрии: он вывел интегральные формулы измерения фигур в новой геометрии и показал совпадение результатов со значениями тех же интегралов, полученных чисто аналитически.
В сочинении «О началах геометрии» намечены все вопросы, которые подробнее развивались в последующих геометрических исследованиях Лобачевского: «Воображаемая геометрия» (1835), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1835-1838), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), Геометрические исследования о параллельных линиях» (1840), «Пангеометрия» (1855). Его идеи становятся известны за рубежами страны: в 1837 и 1840 гг. он издает за границей мемуары на французском и немецком языках.
Такая широкая пропаганда идей Лобачевского вызвала неоднозначную реакцию в математическом сообществе. Дело в том, что идеи неевклидовой геометрии, начиная с 1810-х гг., обдумывал великий Гаусс, но не решался их обнародовать, опасаясь «крика бейотийцев (глупцов), который поднимется, когда я выскажу свои воззрения целиком». Кроме того, теорией параллельных занимался молодой венгерский математик Янош Больяи, который независимо от Лобачевского, но на три года позже (1832) опубликовал знаменитый теперь «Appendix» с изложением элементов неевклидовой геометрии.
Гаусс, познакомившись с трудами Лобачевского и Больяи, не осмелился оказать им открытую поддержку. Косвенное одобрение трудам Лобачевского Гаусс выразил тем, что в 1842 г., через два года после издания в Германии “Геометрических исследований по теории параллельных линий”, рекомендовал его в члены Геттингенского научного общества. Естественно, Лобачевский испытал большое удовлетворение от признания его Гауссом, слава о котором дошла до него еще в университетские годы через их общего учителя Бартельса. Он ответил благодарственным письмом. Другие связи Лобачевского с Геттингенским королевским обществом наук не установлены.
Иначе обстояло дело на родине. Впрочем, новая геометрия настолько парадоксальна, что крайне недоверчивое отношение к ней на первых порах, по всей видимости, вполне естественно. Лобачевский просто значительно опередил свой век. Не только не оценили, но и не поняли его трудов в Казанском университете. Так, проф. Бартельс смотрел на его геометрические работы “более как на интересные и остроумные исследования, чем как на работу, полезную для прогресса науки”. И это самая мягкая из оценок. Чаще же всего его открытие вызывало иронию, в лучшем случае – безразличие, иногда – прямую вражду и издевательства.
Не встретила понимания новая геометрия и в российских академических кругах. Так, академик В.Я. Буняковский в своем сочинение “Параллельные линии” (1835) даже не упомянул заслуг Лобачевского в разработке теории параллельных, обойдя его имя полным молчанием. Заметим, что в 1872 г. Буняковский посвятил Лобачевскому специальный мемуар “Рассмотрение некоторых странностей, имеющих место в построениях неевклидовой геометрии”. В нем он пытался опровергнуть геометрию Лобачевского, но все же с уважением отнесся к его имени и очень лестно отзывался о его математическом гении.
В 1834 г. в булгаринском “Сыне отечества” на работу “О началах геометрии” появился отзыв, который скорее можно назвать пасквилем. Его авторы не стеснялись в выражениях и обвиняли Лобачевского в невежестве, наглости, отсутствии здравого смысла, а сам мемуар высмеивался как сатира или карикатура на геометрию. Лобачевский тяжело переживал эту критику, тем более, что его ответ, посланный в редакцию “Сына Отечества” не был опубликован. Пасквиль был анонимен, но авторство приписывают чаще всего кому-то из окружения замечательного русского математика академика М.В. Остроградского. Кстати, и в немецкой печати появились издевательские статьи о работах Лобачевского.
Потребовалось почти полстолетия, чтобы идеи Лобачевского вошли в математику и стали восприниматься как поворотный пункт, “который определил почти весь стиль математического мышления последующей эпохи”. Кстати, первый отзыв позитивного характера, появился в русском журнале “Отечественные записки” в 1856 г. в анонимной рецензии на “Пангеометрию” Лобачевского, опубликованную годом ранее в “Ученых записках Казанского университета”. Этот научный труд характеризовался в рецензии как “последнее слово” в желании Лобачевского довести геометрию “до крайней строгости”. В заключение рецензент признавал рассуждения Лобачевского весьма любопытными в том отношении, что оно “показывает тесную связь между всеми математическими истинами”. Автор рецензии считает, что чтение труда Лобачевского “весьма затруднительно” и требует солидной специальной подготовки.
Настоящее же признание идей Лобачевского началось в конце 50-х годов, когда после смерти Гаусса (1855) приступили к изданию его переписки. В одном из писем, датированном 1840 г., Гаусс дает восторженную оценку работе Лобачевского “Геометрические исследования о параллельных линиях”. В математическом сообществе авторитет Гаусса был чрезвычайно высок, сочинение Лобачевского стали внимательно изучать, прониклись сознанием глубины и своеобразия изложенных в нем идей. В течение нескольких лет его перевод появился на всех культурных языках мира, о Лобачевском заговорили на родине.
Интересно, что когда идеи Лобачевского возродились, их развитие пошло очень высокими темпами. Геометрической системе Лобачевского посвящалось все большее количество исследований. Особенный интерес в этом отношении представляет работа (1868) итальянского математика Бельтрами, который обнаружил в евклидовом пространстве поверхности, на которых осуществляется геометрия Лобачевского, что сразу же лишило ее того “фантастического налета, который вызывал отрицательное к ней отношение”. Вслед за ним разработкой новых геометрических идей занимаются крупнейшие математики мира – Риман, Пуанкаре, Клейн, Ли, Пеано, Гильберт и др. В этих исследованиях рамки учения о пространстве существенно раздвигаются, возникают обширные исследования о различных геометрических системах, исследования же их непротиворечивости приводят к разработке новых представлений об аксиоматическом методе и его мощных возможностях. Но гениальный автор этих идей уже не дождался своего триумфа, он ушел из жизни непризнанным, но убежденным в своей правоте, проявив удивительную силу воли, несгибаемую убежденность и недюжинный характер.
Вернемся в 20-30-е гг. Много сил, времени и энергии Н.И. Лобачевский отдавал и административной работе в Казанском университете. В 1920 г. Лобачевский становится деканом физико-математического отделения. Это было время, которое в истории Казанского университета названо “эпохой Магницкого”. Оно характеризуется, как самая мрачная ее страница. Историограф его Н.П. Загоскин так описывал этот период: “Магницкий быстро свел счеты с личным составом университета, разогнав часть профессоров, терроризировав оставленных им на службе и пополнив его своими креатурами. Он совершенно подчинил себе совет университета, сделав его покорным и бессловесным орудием своей воли и своих обновительных измышлений”.
На первых порах взаимоотношения между Лобачевским и Магницким были достаточно благоприятные. Последний предложил Лобачевскому две кафедры – физики и астрономии, ввел его в строительный комитет, поручил упорядочить университетскую библиотеку и пр. С течением времени эти отношения начали портиться, так как Лобачевский не хотел быть послушным орудием Магницкого. В 1821 г. он уклонился от произнесения актовой речи, в 1822 г. отказался от должности секретаря совета университета. В связи с этим было заведено целое дело “о неблагопристойностях и противностях”, которые якобы позволил себе Лобачевский. Все годы правления Магницкого от профессоров сыпались жалобы и докладные записки в Министерство народного просвещения о том, что творилось в университете. Магницкий со своей стороны засыпал министерство доносами на тех, кто не подчинялся его режиму, в результате чего, наконец, не только был отстранен от должности, но и выслан в Ревель.
На его место был назначен граф М.Н. Мусин-Пушкин, перед которым встала задача “оздоровить еще молодой, но уже искалеченный Казанский университет, вдохнуть в него научную жизнь, сделать из него тот очаг просвещения, который был так необходим стране”. Совет университета, по-видимому, при поддержке Мусина-Пушкина, в 1827 г. избрал ректором тридцатитрехлетнего Н.И. Лобачевского, который мог справиться с этой задачей. На этой должности Лобачевский продемонстрировал глубокую преданность интересам университета, постоянную заботу о его материальной основе и духовной жизни, тактичность по отношению к профессуре, внимание к жизни студенчества. Как сказал очень известный советский математик П.С. Александров, даже если бы Лобачевский не оставил “ни одной строчки самостоятельных научных исследований, мы должны были бы вспоминать о нем, как о значительнейшем нашем университетском деятеле, как о человеке, который высокому званию ректора университета дал такую полноту содержания, которой ему не придавал, по-видимому, никто другой из лиц, носивших это звание, – до, во время или после Лобачевского”. Об уважении, которое он завоевал в качестве ректора, можно судить по тому, что он избирался на этот пост 6 раз, на протяжении без малого 20 лет. Первой и, может быть, главной его заслугой было то, “что он сумел внести мир и успокоение в возбужденную и расщепленную среду профессоров университета”.
Университет был укреплен новыми научными силами, библиотека стала одним из богатейших книгохранилищ страны, создан научный печатный орган университета – “Ученые записки императорского Казанского университета”. К сожалению, мы не можем подробно останавливаться на деятельности Лобачевского на посту ректора. Отметим только, что свои обязанности он понимал чрезвычайно широко, вникая в детали всех повседневных дел университета: “Ни одно событие университета, ни один сколько-нибудь важный факт его истории с самого начала до настоящего времени не могут быть упомянуты без имени Лобачевского. Его благородная жизнь тесно и неразлучно сплеталась с историей Казанского университета; она есть живая летопись университета, его надежд и стремлений, его возрастания и развития”. Можно без преувеличения сказать, что Н.И. Лобачевский вслед за С.Я. Румовским создал Казанский университет. Все же главной своей заботой он считал воспитание юношества. Свои чрезвычайно любопытные взгляды на эту проблему он изложил в речи “О важнейших предметах воспитания”.
В 1846 г. Лобачевский в шестой раз был избран ректором университета на очередное четырехлетие, однако в августе следующего года исполнялось 30 лет со времени назначения его профессором. По уставу это был максимальный срок, в течение которого профессор мог занимать кафедру. Совет Казанского университета возбудил перед министром просвещения ходатайство об оставлении Лобачевского в профессорской коллегии на посту ректора. Но Лобачевский отказался от такого лестного предложения и подал в отставку. После этого Лобачевский был назначен на сравнительно второстепенный пост в Казанском учебном округе, причем его прямым руководителем вскоре оказался казанский помещик, достаточно малообразованный генерал Молоствов. Отстранение от дела всей его жизни, окорбительное подчинение Молоствову, личные тяжелые невзгоды и прежде всего смерть горячо любимого сына, расстроенные материальные обстоятельства, непризнание научных результатов – все это резко подорвало его здоровье, очень быстро привело к полному одряхлению.
В 1855 г. праздновалось 50-летие Казанского университета. Именно к этому юбилею Лобачевский опубликовал свой завершающий труд под новым названием “Пангеометрия”, который, как считает В.Ф. Каган, носит характер научного завещания великого ученого. К этому времени он практически ослеп и диктовал это сочинение двум своим ученикам. 12 (24) февраля 1856 г. Лобачевский скончался. В последний путь его провожало высшее руководство Казанского учебного округа и Казанского университета, студенты и воспитанники обоих казанских гимназий, бывшие ученики и почитатели его многочисленных талантов.
В 1895 г. Казанское физико-математическое общество учредило Международную премию им. Н.И. Лобачевского за труды по геометрии, преимущественно неевклидовой. Именем Лобачевского назван кратер на обратной стороне Луны.
Источник: Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. II. Век девятнадцатый. Первая половина. - Ростов-н/Д: Изд-во Рост. гос. пед.ун-та, 2001. - С.183-195.
См.подробнее:
Депман И.Я. История Арифметики. - М.: Просвещение, 1965. С.375-376.
Прудников В.Е. Николай Иванович Лобачевский / в книге: Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков.- М.: ГУПИ, 1956. C.218-253.
Нагаева В.М. О педагогическом наследии Н.И. Лобачевского // Математика в школе №6, 1948. C.22-26.
Гнеденко Б.В. Педагогические взгляды Н.И. Лобачевского // Математика в школе №1, 1993. С.2-3.
Бронштейн И.Н. К истории "Обозрений преподавания математики" Н.И. Лобачевского // Историко-математические исследования №3, 1950. C.171-194.
Нагаева В.М. Педагогические взгляды и деятельность Н.И. Лобачевского // Историко-математические исследования №3, 1950. C.76-153.
Каган В.Ф. Лобачевский. - М.-Л.: Изд-во АН СССР , 1948.
Болгарский Б.В. Идеи Н.И. Лобачевского в области методики математики // Математика в школе №2, 1952. C.1-7.