В первой четверти XIX в. в качестве руководств для гимназии были рекомендованы всего 3 учебника : "Начальные основания математики" А.Г. Кестнера, "Курс чистой математики" Т.Ф. Осиповского и "Начальные основания чистой математики" Н.И. Фусса.
Учебник А. Кестнера был переведен с немецкого и издан для главных народных училищ. Он состоял из 2 частей: первая часть содержала арифметику и алгебру, содержала 235 страниц и была издана в 1792 г.; вторая часть включала в себя геометрию, тригонометрию плоскую и сферическую, перспективу и сечения конуса, содержала 430 страниц и была издана в 1794 г. Для своего времени это был неплохой учебник: современный по стилю изложения, содержащий все те части чистой и прикладной математики, которые изучались в гимназиях. Как заявлял автор в предисловии, он старался все "выводить из несумнительных оснований посредством умствований". При этом образцом для него служил Евклид.
Однако арифметика в этом учебнике излагалась неполно, ограничиваясь действиями над целыми числами и обыкновенными дробями. Материал о десятичных дробях был отнесен к алгебре. Не излагались в учебнике также признаки делимости, нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, что приводило к трудностям при приведении дробей к общему знаменателю. Все эти недостатки, как считает В.Е. Прудников , объясняют то обстоятельство, что "Начальные основания математики" служили в качестве учебника для гимназий в течение только одного года.
"Курс математики" Т.Ф. Осиповского
Тимофей Федорович Осиповский - первый видный математик, мыслитель-материалист и выдающийся педагог-математик, получивший специальное педагогическое образование. В 1783 г., как пишет сам Осиповский в своей автобиографии, он был зачислен "для приготовления к учительским должностям в учреждавшуюся тогда в С.-Петербурге учительскую гимназию" , которую возглавил Янкович де Мириево. По окончании преподавал математику, физику и российскую словесность в Московском главном народном училище, позже стал профессором математики Петербургского педагогического института. Являлся одним из основателей Харьковского университета, его ректором (1813-1820 гг.) . Напомним, что Т.Ф. Осиповский сотрудничал с С.Е. Гурьевым в комитете, разрабатывавшем курс морских учебных заведений. Описывая в автобиографии свою деятельность в Петербургской учительской семинарии, Осиповский так комментирует эту работу: "за всем тем уделял я однакож несколько времени, чтобы быть в еженедельных заседаниях высочайше учрежденного комитета для составления морского курса наук, в которой я принят был членом, и заниматься по оному дома" Однако о его деловых отношениях с Гурьевым никаких сведений найти не удалось.
Будучи профессором Харьковского университета, Т.Ф. Осиповский уделял внимание развитию народного образования. Он два раза "визитировал" школы Харьковского учебного округа, и его доклады по этому поводу содержат ценный материал для анализа деятельности школы того времени . Пройдя все ступени деятельности преподавателя математики, будучи первоклассным лектором и глубоким математиком, имея педагогическое образование, Т.Ф. Осиповский создал широко известный в его время капи-тальный "Курс математики".
В основе методических взглядов Т.Ф. Осиповского лежит система Янковича де Мириево, ранее нами охарактеризованная. Для более полной характеристики этой методической системы добавим некоторые выдержки из "Руководства учителям" Янковича: "Стараться более учители должны об образовании и изощрении разума учеников, нежели о пополнении и упражнении памяти…", "Начинать при учении всегда следует с легкого и идти потом к трудному…", "Ученики должны отвечать не "да" или "нет", но полною речью…". Эти и другие простые и ясные правила, по всей видимости, Т.Ф. Осиповский положил в основу своего преподавания и учитывал при разработке "Курса математики". Первый вариант "Курса математики" он написал, еще работая в Москве. Заняв в 1800 г. кафедру математики и физики Петербургской учительской семинарии, он убедился в несоответствии новым реалиям математического образования существовавших в то время на русском языке учебников математики и оперативно подготовил новый вариант своего "Курса математики". В 1801 г. комиссией об учреждении училищ был опубликован второй том этой книги (337 с. и 11 таблиц чертежей), через год - первый том (358 с.) и значительно позже (1823 г. ) - заключительный третий том (571с.).
Первые два тома содержали арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию, т.е. практически были курсом элементарной математики, хотя, как будет показано далее, курс алгебры выходил за рамки элементарного изложения. Первое издание учебника Осиповского имело такой успех, что достаточно быстро для того времени было распродано (1809). Возникла необходимость в его переиздании, что было сделано дважды - в 1814 и 1829 г. Третий том посвящен математическому анализу, причем, напечатана лишь его первая часть, а вторая часть, посвященная приложениям математического анализа к геометрии, так и не увидела света.
По мнению одного из самых серьезных исследователей творчества Осиповского Э.Я. Бахмутской, "Курс математики" Осиповского составлял обширный по материалу и связанный единством и последовательностью изложения курс, по которому учащийся мог получить полное университетское образование. Она отмечает также, что во многих разделах "Курс математики" даже превышает требования университетской программы того времени . Это было лучшее отечественное руководство, содержащее систематически, полно и в то же время доступно изложенный курс математики от начальных арифметических сведений до основ вариационного исчисления. Именно систематичность и доступность "Курса математики" Осиповского сделали его наиболее распространенным в первой четверти XIX в. учебником математики, рекомендованным для гимназий и университетов.
Введение к первому тому Т.Ф. Осиповский начинает с определения математики как науки о величинах. "Все то, что может быть подвергнуто измерению, называется величиною, и наука о величинах называется математикой" . При этом он подчеркивает, что "величина и количество (число) суть вещи однозначные" . Как считает Осиповский, многообразие различных видов величин обусловило существование различных частей математики.
Первый том содержал "частную и общую арифметику", т.е. в привычной нам терминологии собственно арифметику и алгебру. Первая часть первого тома представляла собой собственно арифметику, называлась "Частная арифметика", состояла из 66 страниц, излагалась просто и кратко в следующей последовательности: 1. Об изображении чисел и четырех первых действий с целыми числами. 2. О дробях. 3. О разных мерах и их частях, употребляемых в общежитии, и их вычисление. 4. О десятеричных дробях. 5. О непрерывных дробях. Здесь рассматриваются правила действий над натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, которые не объясняются, а показываются Законы арифметических действий не формулируются. Достаточное внимание уделено в учебнике признакам делимости. Большое значение придается арифметическим задачам, предлагаются различные методы их решения. Тут же приведен перечень употребляемых в России мер, правила перехода от более мелких мер к более крупным и наоборот.
В конце первой части вводится понятие о непрерывных дробях, указано применение их для приближенного изображения несократимой дроби. В качестве примера приводится приближенное представление числа сначала в виде обыкновенной несократимой дроби, а потом в виде непрерывной дроби.
Вторая часть первого тома называется "Всеобщая арифметика или алгебра" и состоит из трех отделений. В первом отделении рассматриваются действия над составными количествами, степени и корни, логарифмы, пропорции, прогрессии, тройные правила; во втором - изложена теория уравнений и неопределенный анализ; третье - включало в себя суммирование рядов и преобразование непрерывных дробей в "бесконечные строки".
Практически "Всеобщая арифметика…" охватывает весь собственно алгебраический материал, содержащийся в "Универсальной арифметике" Эйлера. В то же время Осиповский вносит в курс ряд изменений и дополнений, вводит некоторые новые разделы и доказательства. Так, Осиповский одним из первых в отечественной математической литературе вводит в свой учебник общую теорию алгебраических уравнений высших степеней. Он рассматривает ряд общих свойств алгебраических уравнений высших степеней и их корней: приводит теоремы о количестве корней уравнения n-й степени, о зависимости между корнями и коэффициентами уравнения, о взаимной сопряженности комплексных корней уравнения с действительными коэффициентами и др.
По всеобщему признанию , наиболее удался Осиповскому раздел о логарифмах. Кроме изложения определения и свойств логарифмов, показаны способы их вычисления с помощью бесконечных рядов. В отличие от Гурьева, Осиповский вводит понятия иррациональных и мнимых или "невозможных" чисел и широко ими пользуется. Иррациональные числа он определяет следующим образом: "Величина, стоящая под знаком ?, называется радикальною величиною и когда из нее с точностью требуемого корня извлечь, т.е. на требуемое число равных множителей разбить не можно, тогда она называется иррациональной, т.е. несоизмеримой величиной". То есть он пытается дать определение иррационального числа при помощи множества рациональных чисел. Широко пользуясь мнимыми числами, Осиповский просто распространяет на них правила алгебраических действий, даже не оговаривая это специально, что некоторые авторы считают несомненным недостатком учебника.
Второй том "Курса математики" Т.Ф. Осиповского содержит "геометрию, прямолинейную и сферическую тригонометрию и введение в криволинейную геометрию". При разработке этого учебника Осиповский пользовался принципами, сформулированными Даламбером. Напомним, что они могут быть выражены следующим образом:
1)в основу курса следует положить метрику и потому геометрия должна разделяться на 3 раздела, изучающие последовательно длины, площади и объемы;
2)очень осторожно нужно подходить к аксиоматическому построению курса - аксиомы убрать, определения вводить постепенно;
3)в качестве основного метода использовать метод наложения (движение).
Во введении Т.Ф. Осиповский явно формулирует некоторые из перечисленных принципов. Будучи сторонником материалистической философии, он показывает, что геометрия возникла из нужд практики, касается египетских корней этой научной дисциплины и определяет предмет геометрии следующим образом: "все занятие сей науки состоит в исследовании свойств протяжений <…>Каждое тело в свете имеет существенную и неотделимую принадлежность - протяжение, простирающееся в три стороны". Поверхности при этом рассматриваются им как границы тел, линии - как границы поверхностей, точки - как границы линий. Основным методом исследования протяжений является сравнение их с мерой протяжения того же рода.
В геометрической части "Курса математики" 3 раздела - "лонгиметрия, планиметрия и штереометрия", а также дополнения к ним - элементы криволинейной геометрии. Основное содержание учебника начинается с измерения длин - лонгиметрии. Осиповский предлагает оригинальное определение прямой и кривой линий, в основе которого лежит понятие движения: "Прямая линия есть та, которая происходит от движения точки, простирающейся беспрестанно по одному направлению, кривая же линия есть та, которая происходит от движения точки, беспрестанно переменяющей свое направление".
Сразу же после определения прямой и кривой линий Осиповский вводит определение окружности. Свойства прямой и окружности изучаются совместно. В различных изданиях второго тома "Курса математики" теория параллельных изложена по-разному, так как Осиповского, по-видимому, не без оснований не удовлетворял ни один вариант. Суть различных видов изложения этого вопроса состоит в следующем: вместо пятого постулата вводится более простое предложение и делается попытка его обоснования, безусловно, несостоятельная. Впрочем, как и аналогичные попытки многих поколений математиков до Т.Ф. Осиповского. Другой тонкий вопрос курса лонгиметрии - несоизмеримость отрезков - автор просто обходит: "когда же линии не равны, то как та, так и другая могут быть вымеряны общею мерою".
При вычислении длины окружности, как и площади круга Т.Ф. Осиповский использует простейшие инфинитезимальные приемы, представляя окружность состоящей из бесконечного множества малых дуг "которые могут быть рассматриваемы как прямые линии" . Эти же методы использует автор "Курса математики" во втором и третьем разделах второго тома при вычислении площадей поверхностей и объемов тел. Например, поверхность шара он представляет как предел суммы боковых поверхностей усеченных конусов с бесконечно малыми высотами. Исключение составляет теорема о равенстве объемов двух пирамид с равновеликими основаниями, которая доказывается с помощью принципа Кавальери.
Заключительная часть геометрического материала "Курса математики" приведена в самом конце книги в виде дополнений. Это, как уже говорилось, элементы криволинейной геометрии: конические сечения (эллипс, гипербола, парабола), циссоида Диоклесса, спираль Архимеда, циклоиды и квадратрисы Динострата. Этот материал излагается без применения методов аналитической геометрии. В дополнениях вводится также понятие о радиусе кривизны, эволютах и эвольвентах кривых и рассматриваются некоторые свойства эволюты параболы.
Большую часть второго тома "Курса математики" Т.Ф. Осиповского составляют прямолинейная и сферическая тригонометрия. Автор формулирует предмет прямолинейной тригонометрии следующим образом: "прямолинейная тригонометрия есть наука, как по данным трем частям прямолинейного треугольника находить прочие его части" . После этого следует замечание о том, что среди этих частей должна находиться хотя бы одна сторона. Содержание этого раздела "Курса математики" составляет полный по тому времени курс элементарной тригонометрии. Кроме того, здесь выводятся разложения синуса, косинуса, тангенса и арксинуса в бесконечные степенные ряды, что обеспечивает знакомство учащихся с приближенным вычислением значений тригонометрических функций с помощью бесконечных рядов.
Специальная глава этого раздела посвящается применению тригонометрии к решению алгебраических уравнений. Например, к решению кубических уравнений в тех случаях, когда формула Кардано не дает результата. Еще одна глава посвящается изложению основных теорем и формул сферической геометрии и сферической тригонометрии. Приводится большое количество примеров их применения преимущественно в астрономии.
По мнению Э.Я. Бахмутской, к которому мы присоединяемся, геометрическая часть "Курса математики", изложенная во втором его томе, обладает такими несомненными достоинствами, как "богатство содержания … в соединении с простотой и доступностью изложения" , что обеспечило его широкое распространение в средних и высших учебных заведениях России. Более того, несмотря на то, что комиссия по учреждению народных училищ в 1814 г. рекомендовала для изучения в училищах учебник Н.И. Фусса, который мы охарактеризуем далее, первые два тома "Курса математики" имели такую популярность, что, в 1820 г., как мы уже упоминали, были переизданы в третий раз.
Третий том "Курса математики" Т.Ф. Осиповского содержит в себе теорию аналитических функций. Он начинается с определения постоянных и переменных величин, функций и функциональной зависимости. Постоянные величины по Осиповскому "суть те, кои при изменении других остаются в одном и том же состоянии; переменные же величины суть те, кои могут переходить через различные состояния" . Определение функциональной зависимости близко к эйлеровскому , данному во "Введении в анализ": "Если какая-нибудь переменная величина y выражается через какую-нибудь другую переменную величину, напр. x, и через постоянные величины, то сие ее выражение называется функциею величины x". Таким образом, понятие функции в этом определении отождествляется с ее аналитическим выражением.
После введения основных понятий следует вводный раздел "О некоторых преобразованиях функций", в котором даются дополнительные алгебраические сведения, нужные для дальнейшего изложения.
Следующий раздел озаглавлен "О последовательном изменении функций", является подготовительным к дифференциальному и интегральному исчислению и содержит изложение теории конечных разностей. На этой теории базируется основное содержание третьего тома - дифференцирование и интегрирование функций, которым посвящена первая книга третьего тома "Курса математики" Т.Ф. Осиповского.
Вторая книга посвящена интегрированию дифференциальных уравнений как в целых, так и частных дифференциалах и вариационному исчислению.
При оценке третьего тома "Курса математики" Т.Ф. Осиповского сошлемся на мнение авторитетного М.И. Сухомлинова, который считает, что "сочинения его показывают знакомство автора со всем, что было замечательного в математической литературе Европы. Избравши образцом преимущественно Эйлера, Осиповский, по ясности и строгости изложения, был достойным последователем великого математика".
"Курс математики" Т.Ф. Осиповского был значительным явлением в математическом образовании России первой четверти XIX в. Преподавание математики в крупнейших отечественных университетах долгое время велось в соответствии с ним. Он же был в течение более десятилетия основным учебником математики для гимназий.
"Начальные основания чистой математики" Н.И. Фусса
Все же "Курс математики" Осиповского скорее был учебником для высшей школы, превышаюшим нужды гимназии. Для школы среднего уровня нужен был специальный учебник математики. Ученый комитет министерства народного просвещения решил создать специальные учебники для гимназий. В качестве пособия по арифметике была одобрена "Арифметика" Лакруа в переводе Ф.И. Петрушевского.
Подготовку руководства по всем остальным математическим дисциплинам, специально приспособленного к гимназическому курсу, ученый комитет поручил академику Н.И. Фуссу. Будучи членом этого комитета со времени его основания, Фусс постоянно оказывал значительное влияние на постановку математического образования на всех его ступенях, что частично отражено нами в первой книге дилогии. Выполняя поручение ученого комитета, он переработал ранее опубликованные им пособия по отдельным разделам математики и издал учебник под названием "Начальные основания чистой математики". Это руководство с 1814 г. и стало основным учебником математики для гимназий.
"Начальные основания…" состояли из трех частей и содержали следующие разделы:
1)начальные основания алгебры,
2)начальные основания геометрии,
3)приложения алгебры к геометрии,
4)плоская тригонометрия,
5)конические сечения,
6)основания дифференциального и интегрального исчислений.
Алгебру Н.И. Фусс изложил "по Эйлеру", на том уровне строгости, которые предъявлялись в это время. В разделе "Конические сечения" Н.И. Фусс вводит функциональный аппарат: дает понятие о системе координат, о постоянных и переменных величинах, а в разделе "Основания дифференциального и интегрального исчислений - определение функции в следующем виде: Функцией переменной величины называется выражение, состоящее из сей переменной, соединенной с постоянными величинами ". В геометрии же Н.И. Фусса, как считает В.А. Прудников, "мы не найдем в нужной мере той "неупустительной строгости", которая всегда отличала эту науку от других математических дисциплин".
"Начальные основания чистой математики" Н.И. Фусса были компактны, доступно изложены, объяснения и доказательства хорошо приспособлены к возрастным особенностям учащихся. Это руководство достаточно долго служило целям гимназического математического образования, во всяком случае, до принятия нового школьного устава 1828 г.
Учебник Фусса был первым стабильным учебником математики для гимназий, о чем в 1814 г. последовало специальное распоряжение: "Министр народного просвещения предписал всем гимназиям, дабы отныне учители оных руководствовались сим сочинением и круг математическим наук ограничивался бы в гимназиях непременно теми частями математики, кои в сем сочинении помещены ". Таким образом, поскольку программы гимназий еще не существовали, содержание гимназического математического образования определяли учебники. Именно в соответствии с руководством Н.И. Фусса были определены объем и характер гимназического курса математики. Впервые в истории отечественного математического образования это официально вносило некоторое единство в определение его содержания.
Источник: Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. II. Век девятнадцатый. Первая половина. - Ростов-н/Д: Изд-во Рост. гос. пед.ун-та, 2001. - С.44-53.
См.подробнее:
Фусс Н.И. Начальные основания чистой математики. Часть 1, содержащая Начальные основания Алгебры, извлеченные из оснований сея науки знаменитого Эйлера. - СПб., 1820.
Фусс Н.И. Начальные основания чистой математики. Часть 2, содержащая Начальные основания Геометрии, изданные Главным правлением училищь. - СПб., 1823.
Фусс Н.И. Начальные основания чистой математики. Часть 3, содержащая 1) Приложение Алгебры к Геометрии, 2) Плоскую Тригонометрию, 3)Конические Сечения, и 4) Основания Дифференциального и интегрального изчисления. - СПб., 1823.
Прудников В.Е. О русских учебниках математики для средних школ в XIX в. // Математика в школе, 1954. №3.
Бахмутская Э.Я. Тимофей Федорович Осиповский и его "Курс математики". // ИМИ, 1952. Вып.5.