Menu Color:
Main Color:
Background Color:
Background Image:
  • background1
  • background2
  • background3
  • background4
  • background5
  • background6
  • background7
  • background8
  • background9
3.1.2. "Арифметика" Магницкого: содержание "Арифметики-политики"

Первая часть книги - "Арифметика политика", объемом в 218 двойных страниц, посвящена изложению собственно арифметики, а также прогрессиям и корням (квадратным и кубическим). Она состоит из 5 частей:
1. О числах целых.
2. О числах ломаных, или с долями.
3. О правилах подобных, в трех, в пяти и в седми перечнях.
4. О правилах фальшивых, еже есть гадательных.
5. О правилах радиксов, квадратных и кубических, геометрии принадлежащих.


Содержание первой части Арифметики Магницкого

Кратко охарактеризуем каждую из частей первой книги.

В первой части рассмотрены целые числа и 5 действий - нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление. В отличие от рукописей XVII в., Магницкий кроме правил их выполнения дает определения действий:
"Что есть нумерацио? Нумерацио есть счисление еже совершенно вся числа речию именовати, яже в десяти знаменованиях, или изображениях содержатся и изображаются аще: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 , 0, из них же девять назнаменовательны суть: последнее же 0 (еже цифрою или ничем именуется) егда убо едино стоит, тогда само о себе ничтоже значит. Егда же коему оных знаменований приложение будет, тогда умножает в десятеро".


Определение нумерации Магницким

Определения арифметических действий, видимо, заимствованы Магницким из современной ему западноевропейский литературы. "Аддицио, или сложение есть двух или многих числ во едино собрание, или во един перечень совокупление", - так определяет Магницкий сложение. Вычитание определялось у Магницкого не как действие, обратное сложению, но как самостоятельная операция, что можно считать естественным на первой стадии обучения. "Субстракцио, или вычитание есть имже малое число, из болшего вычитаем и излишнее объявляем".

Как независимые действия, решающие некоторые задачи, определялись также умножение и деление. "Умножение есть, имже что в числах умножаем, или коликим вещам по множеству иных вещей раздаем: и количество их числом показуем". Таким образом, Магницкий сводил умножение к повторному сложению совокупностей предметов. "Деление есть имже болшее число, или перечень на равные части меншим разделяем, от них же едину числом же показуем".

Безусловно, эти определения крайне несовершенны как с содержательной, так и с методической точки зрения. Мы не будем заниматься бесплодной их критикой хотя бы потому, что она является внеисторической. Сам факт попытки определения арифметических действий носит продуктивный характер, так как он положил начало процессу, в результате которого в ходе анализа и совершенствования родились современные определения.

Свойства действий не рассматривались. Основное внимание, естественно, уделялось правилам действий и разбору многочисленных примеров. Причем Магницкий, как и его предшественники, приводил по нескольку способов деления и умножения. Знаки действий не употреблялись (как и в иностранных учебниках того времени). Значительное внимание уделял Магницкий способам проверки арифметических действий. Для проверки вычитания и деления применялись обратные действия, для всех действий - проверка с помощью 9.

Проверка умножения у Магницкого с помощью 9

Далее идут именованные числа, которым предпосылается обширный трактат о древних греческих, римских и еврейских деньгах, мерах и весах Голландии и Пруссии, мерах и деньгах "Московского государства и окрестных некиих", 3 сравнительных таблицы мер, веса и денег. Этот трактат, отличающийся замечательными подробностями, ясностью и точностью, свидетельствует о глубокой эрудиции Магницкого. Более того, он имеет несомненную историческую значимость, так как дает сведения о системах мер и денежном обращении России. Что касается именованных чисел, то Магницкий знакомит читателя с их сложением и вычитанием, а также с "раздроблением" и "превращением", которые рассматривает как деление и умножение. Действия с именованными числами выполняются обычным способом.

Во второй части "Арифметики политики" подробно излагаются дроби. Магницкий впервые в русской математической литературе дает определение дробей: "Число ломаное ничтоже ино есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется аще 1/2 рубля, или четь 1/4 или пятая часть 1/5, или две пятые части 2/5 и всякие вещи яковая либо часть, объявлена числом: т.е. ломаное число".


Не случайно изучение дробей следовало за отделом об именованных числах и системах мер: дробь понималась Магницким не как отвлеченное число или доля отвлеченной единицы, но как доли величины, вещи. Дробь при этом мыслилась как некое целое, состоящее из меньших единиц (полтина - 50 копеек, например). Затем Магницкий подробно излагает арифметические действия с дробями - нумерацию, сокращение, сложение, вычитание, умножение и деление.

Третья часть "Арифметики политики" содержит тройные правила, изложенные, в отличие от рукописей XVII в. подробно и расчлененно. Кроме обычного тройного правила в целых и долях различаются "возвратительное", т.е. обратное тройное правило; "правило тройное сократительное", в котором возможно предварительное сокращение членов пропорции, и правила 5, а также 7 величин. Магницкий прямо связал тройное правило с пропорциональностью величин, однако сколько-нибудь развитое учение о пропорциях у него отсутствует. Поэтому даже простое тройное правило описано в "Арифметике политике" недостаточно ясно.

В четвертой части "Арифметики политики" изложены правила ложного положения. Магницкий, в отличие от своих русских и иностранных предшественников, рассмотрел не 2, а 3 случая правила 2 ложных положений: 1) когда оба положения больше искомого; 2) когда оба они меньше; 3) когда одно больше, а другое меньше. У Магницкого имеются также задачи, решаемые по правилу одного ложного положения, которое он тем не менее специально не выделил. Этим заканчивается та часть "Арифметики", которая роднила ее с рукописями XVII в. Остальное ее содержание для русского читателя было новым.

В последней, пятой части "Арифметики политики" Магницкий поместил учение о прогрессиях и об извлечении квадратных и кубических корней. Эти вопросы он справедливо относит к алгебре. Элементы алгебры Магницкий излагает во второй части книги, однако, считая, что изучать ее будут немногие, решает предложить некоторые вопросы "в дополнение многих, в прешедших частях различных правил...". Учитывая потребности практики, он приводит много примеров приложения алгебраического материала к военному и морскому делу.

В пятой части Магницкий возвращается к "подобенствам", или, как он их теперь называет, пропорциям и прогрессиям - арифметическим, геометрическим, лишь упомянув о "гармонических". Он продолжает введенную им в русскую учебную книгу традицию введения определений:
"Прогрессио есть пропорция или подобенство числ к числам в примножении, или во уменшении яковых либо перечнев".
"Арифметическое прогрессио или пропорция есть, егда три или многая числа коеждо их друг от друга равное разнство, но разные пропорции имать, и сие или единаким пошествием, яко 2, 4, 6, 8, 10, 12 или не единаким , яко 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13".
"Геометрическое прогрессио или пропорция есть, егда три или многая числа, едину и туюжде между собою пропорцию, но разнства различная имут, и сие или единаким пошествием, яко 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, или не единаким, яко 2, 4, 6, 12, 18".


Определение прогрессий у Магницкого

Рассматриваются убывающие и возрастающие прогрессии, свойства арифметических прогрессий и правило для вычисления ее суммы: " Первый предел и последний сложи, и то сложение сумножи с половиною всех пределов". Формула для общего члена, естественно, не дается, правило формулируется для конкретного (14-го) члена прогрессии: "Разнством сумножи 13 мест, и первый предел к тому приложи, и будет последний предел". Изложение геометрической прогрессии начинается определением ее знаменателя: "Идеже достоит умствовати яко егда, два числа геометрического прогрессия, и едино другим разделяется, и произведение бывает пропорция, или умноженное число, имже прогрессия возвышается или вознижается". Формул для нахождения общего члена и суммы членов геометрической прогрессии у Магницкого нет, при решении задач он пользуется описательным способом.

Квадратному корню посвящена статья "О радиксе квадратном". Магницкий дает геометрическое определение квадратного корня, так как использует его в дальнейшем в основном в геометрических приложениях. Определив сторону квадрата по его площади и поместив табличку квадратов от 1 до 12, Магницкий отмечает, что всякое число может быть квадратом и подробно на примере описывает способ извлечения квадратного корня из целых и дробных чисел. Приближенное значение корня он получает приписыванием пар нулей справа.

По аналогии вводится и понятие о кубическом корне, которому посвящена статья "О радиксе кубическом".

 

О кубическом корне у Магницкого

Интересны задачи этой статьи, среди которых есть задачи на замену куба несколькими равновеликими между собой кубами: "Некоторый куб имеет сторону 28 вершков. Из него надо сделать 8 одинаковых меньших кубов. Определить сторону куба".

В связи с большим количеством вычислений в пятой части "Арифметики политики" Магницкий впервые в отечественной математической литературе приводит сведения о десятичных дробях: "иной член арифметики... яже децималь или десятная именуется, сиречь в десятных частях, или в сотых, или в тысящных и множайших". Он рассматривает сложение десятичных дробей, формулирует правила их вычитания и умножения.

Источник: Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. I: век восемнадцатый. - Ростов-н/Д: Изд-во Рост. пед.ун-та, 1997. - С.105-109. 


См.подробнее:

    Л.Ф. Магницкий. Арифметика. - М., 1703.
    Д.Д. Галанин. Леонтий Филиппович Магницкий и его Арифметика. Вып. II: Арифметика-политика, или гражданская. Вып. III: Арифметика-логистика. - М., 1914.
    Арифметика Магницкого. Точное воспроизведение подлинника. С приложением статьи П. Баранова (биографические сведения о Магницком, историческое значение его "Арифметики"). - М., 1914.
    Б.В. Гнеденко. Очерки по истории математики в России.- М-Л.: ГИТТЛ, 1940.C.58-70.
    Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. -М.: Наука, 1969. С.58-70.
ЧТО ПОСМОТРЕТЬ

"Арифметика" Магницкого с etudes.ru

ЧТО ПОЧИТАТЬ

Денисов А.П. Леонтий Филиппович Магницкий 1669-1739. - М.: Просвещение, 1967.

Леонтий Филиппович Магницкий много сделал для математического просвещения в России. По написанной им "Арифметике" обучались многие поколения русских людей. Автор, рассказывая о жизни и деятельности Л.Ф. Магницкого, кратко описывает эпоху, в которой жил и работал замечательный педагог-математик, знакомит читателя с годами его учения и работой в Навигацкой школе. В книге раскрывается содержание "Арифметики" Магницкого, освещается роль, которую сыграла она в развитии математического просвещения в стране.