Menu Color:
Main Color:
Background Color:
Background Image:
  • background1
  • background2
  • background3
  • background4
  • background5
  • background6
  • background7
  • background8
  • background9
2.3. Рукописный учебник геометрии Ивана Елизарьева

Выдающееся значение имеет геометрическая рукопись XVII в. “Синодальная № 42”, более или менее подробным анализом которой занимались ведущие отечественные историки математики. В рукописи впервые на русском языке дано систематическое изложение геометрии, поэтому ее считают первым вариантом отечественного учебника теоретической геометрии: в отличие от практической она содержит не только рецепты решения задач, но и элементы теории. Объем рукописи - 173 листа. Она иллюстрируется большим количеством чертежей, гравюр, вырезанных из неустановленной геометрической книги. В начале рукописи помещена гравюра с гипотетическими портретами Евклида, Ветрувия, Архимеда. Над ними надпись, сделанная рукой автора, “Учители” и их имена на латинском и старославянском языках.

Рукописи предпосланы 2 предисловия, которые занимают значительную ее часть (20 стр.). Из них можно почерпнуть сведения об авторе, характере рукописи, ее назначении и др.

Автор. В первом предисловии назван составитель рукописи: “Сие предисловие собрал я, Ивашко, князь Елизарьев сын < ... > от многих учителей и их книги у меня все”. Род Елизаровых (или Елизарьевых) хорошо известен, он происходит из потомков касожского князя Редиди, убитого в 1022 г. Многие его представители упоминаются в боярских книгах XVII в. Среди них с 1627 по 1640 гг. упоминается Иван Елизаров, дворянин московский. Возможно, он и был автором рукописи. Судя по содержанию книги, это был высокообразованный русский любитель математики, вполне осознававший значение науки и мечтавший о ее распространении путем книгопечатания.

Время создания. Во втором предисловии говорится, что “совершена та книга в 1625 году”, т.е. мы имеем не подвергающуюся сомнению точную дату написания книги.

Характер рукописи. Несмотря на то, что во втором предисловии она самоидентифицирована как “Перевод с аглинские с печатные землемерные книги”, на самом деле рукопись составлена на основании по крайней мере нескольких сочинений, причем они не просто состыкованы: автор изменял порядок изложения, чертежи, числовые данные и др. Это позволяет считать рукопись достаточно самобытным математическим произведением, а ее автора не переводчиком, а составителем рукописи.

По мнению исследователей, основными источниками рукописи Ивана Елизарьева являются “Резюме геометрии” англичанина Джона Спейделя (Geometrical extraction. London, 1616) и широко распространенные в ту пору “Двадцать семь книг геометрии” (Geometriae libri, XXVII. Basiliae, 1569) французского философа и математика Петра Рамуса (латинизированное имя Пьера Рамэ, ставшего, между прочим, жертвой Варфоломеевской ночи). Петр Рамус - выдающийся педагог, одним из первых осознавший трудности для обучения евклидовой системы изложения геометрии, стремившийся в своем учебнике к существенному его упрощению и приспособлению к нуждам практики. По образцу учебника Рамуса было создано значительное число учебников геометрии для элементарного обучения, в которых излагались лишь определения, формулировки теорем и объяснения к ним, а также правила решения практических задач.

Таким в целом и был труд Ивана Елизарьева, который рассматривал его как элементарное руководство по геометрии, советуя затем изучать Евклида и Рамуса: “И предлагаю как ученик может будет обрести книги, рекомый на Евклиду и на Рамеюс и иных многих учителей...”.

Общеобразовательное значение. В предисловии Елизарьев приводит многочисленные сведения по философии, истории, географии, что повышает общеобразовательное значение книги. Здесь же упоминаются философы и математики Анаксимандр, Протагор, Платон, Аристотель, Евклид, Пифагор, Герон, Рамус и др., приведены даты различных событий, в том числе библейских (“а Троя взята от сотворения мира 2782”).

Назначение рукописи. Далее в предисловии Иван Елизарьев обращается к государю Михаилу Федоровичу с описанием трудностей, возникших при “справке” рукописи и выражает надежды, что книга его будет напечатана: “А бил я челом тебе, государю, беспрестанно о справке той книги и ты, государь, пожаловал велел быти дьякам и подьячим для справки тоя книги, и дьяки и подьячие у тое книги у справки не были, мне одному ту книгу справить Бог пособил. А буде твое государское жалованье будет, велишь к печати ту книгу отдать и толды еще стану смотреть у справки. Надеюсь, государь, на милость Божию и на твое государское жалованье, что не будет та книга виновата, хотя без помощников справлена”.

Итак, рукопись была подготовлена с ведома царя Михаила Федоровича, который, по-видимому, покровительствовал автору, однако никакой реальной помощи не оказывал ни при ее написании, ни в решении вопроса о публикации: книга не относилась к разряду допускавшихся в те времена к печати и так и не была опубликована. Основная цель Ивана Елизарьева - содействовать широкому распространению геометрических знаний, математическому просвещению - достигнута не была.

Далее в предисловии оценивается предмет геометрии как “мастерство, чтобы было добро положено [измерено]”, говорится о взглядах на геометрию Платона, Плутарха и др., о мерах и т.п. Собственно геометрическая часть рукописи состоит из двух книг, каждая из которых в свою очередь разделена на две части.

Содержание первой книги. В начале первой книги помещена гравюра, на которой на фоне башни для астрономических наблюдений изображены четыре “звездочета”. На переднем плане - изображения додекаэдра и икосаэдра. В ней - 47 “глав”, содержащих преимущественно планиметрические определения, по терминологии автора - “совершения”. Начинается математический текст с определения линии - “первое чертание еометриски”: “Се есть черта долга без ширины и без толстоты”. Далее определяется поверхность, “что держит толку долину и ширину и есть второе собрание еометриски”, и характеризуются тела, которые имеют три измерения - “долину, ширину и толстину” и составляют третье “собрание еометриски”.

После этого даются определения, связанные с углами: самое определение угла, замечание о существовании трех “чинов” углов: прямых, тупых и острых. Определения сходны с евклидовыми. Терминология неустоявшаяся, часто одно понятие характеризуется несколькими терминами. В качестве примера приведем определение прямого угла (и перпендикуляра): “Аще прямая черта упадет на другую прямую черту, сотворяет углы на всякие страны равны и всякий угол нарицается прямой угол, а та прямая черта, которая справлена, нарицается стоячея”. Для обозначения прямого угла используется также термин ортогонал (далее нигде не употребляется), а вместо стоячей черты - перпендикуляр и свинцовая черта (отвес).

Следующий цикл определений касается окружности (венец), круга и их частей - центра и радиуса, диаметра, полукруга, сегмента, хорды, касательной, вписанных (смущенных) углов, сектора. Здесь интересно описание достоинств окружности: “Венец всем иным фигурам имеет начало, потому что есть ото всех чисче и мастеровитее и для того подобает быть первым”. Среди определений встречаются математические предложения, которые могут быть скорее отнесены к теоремам: “Из вписанных углов больший тот, который опирается на большую дугу”, “Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла”.

Далее рассматриваются многоугольники, им предпослано определение прямолинейной (справленной) фигуры как составленной более чем 2 отрезками. Первый из определяемых многоугольников - треугольник. Автор определяет равносторонний треугольник (экулатор - равносторонник), замечая, что каждый из его углов равен “6-й доле венца”; равнобедренный (прямая лестница) треугольник.

Определения четырехугольников начинается с квадрата (решетка четвероугольная), далее следуют прямоугольник (решетка долгая), ромб (архобус) и параллелограмм (архобоидис). Причем сделано обобщение, что все эти четырехугольники являются параллелограммами, первые два - прямоугольные параллелограммы. После этого рассматриваются многоугольники с числом сторон более 4 и понятие фигуры, вписанной в окружность и описанной вокруг нее.

Заключительные “главы” первой части включают:
- определения высоты (треугольника и прямолинейной фигуры), параллельных прямых;
- понятие площади квадрата как “силы черты” (квадрат стороны) и равновеликих фигур;
- понятия, связанные с пропорциональностью: определение отрезка, разделенного в среднем и крайнем отношении; среднего пропорционального между всем отрезком и данной его частью;
- определение подобных фигур, которые “имеют прямые [здесь в смысле равные] углы” и “основанные [в смысле пропорциональные] страны”;
- понятие об измерении углов в градусах, минутах и секундах.

Вторая часть первой книги Ивана Елизарьева посвящена изложению основных планиметрических теорем (“видений” по терминологии автора). Рассмотрены 74 теоремы. Специфична и единообразна структура этой части рукописи: сначала приводится формулировка теоремы, затем подробно объясняется ее смысл, иногда при этом используются элементы доказательства, ссылки на предыдущие предложения (часто, к сожалению, не совпадающие по нумерации), упоминаются первоисточники.

Первый цикл теорем (1 - 23) включает в себя теоремы об углах и треугольниках. Начинается он с теоремы о равенстве вертикальных углов и включает в себя свойства частных видов треугольников (равнобедренных, равносторонних, прямоугольных), метрические соотношения в треугольниках, включая теорему Пифагора и ее обобщение для тупоугольного и остроугольного треугольников, а также признаки равенства и теоремы о подобии треугольников. Сюда же вкраплены некоторые сведения о площадях (3 - 5), сейчас не включаемые в учебники планиметрии. Например: “Площадь квадрата, построенного на половине отрезка, равна четвертой части площади квадрата, построенного на всем отрезке”.

Второй цикл теорем (24 - 39) посвящен площадям. Начинается цикл с теорем о площадях треугольников. Далее рассматриваются теоремы о равновеликости (треугольников, параллелограмма и треугольника, а также параллелограммов) и о площадях квадрата, параллелограмма, ромба.

Следующий цикл теорем (50 - 69) описывает свойства окружности, круга, их элементов и вписанных в них фигур. Приведем в качестве примера изложение теоремы 69 о сумме углов вписанного в окружность треугольника: “Сумма углов вписанного в окружность треугольника равна 180“.

   

“Постави Д да будет круг, а отстави АВС быти триуголному. Пусть пишетца для всего надобно на сей круг и тогда смотри, что фигуры триуголный АВС всякое имеет от углов сих прямую половиную на дугу, положено на сего яко угол сего мыска прямой есть на половину сего на арса АГС - положены на него да угол мыска сего С прямо есть посреди сего арсу АЕВ, что всякаго круга есть 360о грады или степень, которые есть наполовину 180о да триуглы, что есть посреди круга от всякой прямой черты триуголные прямы есть со двемя прямыми углами, которые есть 180о степеней. Видение и толкование 13, 48, 119, 120”.

Здесь достаточно основательно доказывается, что так как вписанные углы измеряются половиной дуг, на которые они опираются, а дуги, на которые опираются все три угла вписанного треугольника, составляют полную окружность, включающую 360, то сумма углов вписанного треугольника равна 180. Среди нескольких оставшихся теорем интерес представляет предложение 70 о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла на гипотенузу.

Итак, вторая часть первой книги содержит планиметрические теоремы, выражающие основные свойства таких геометрических фигур, как многоугольники, окружность и круг. В основном, это традиционный материал “Начал” Евклида, освобожденный от основательных доказательств, трудных и “темных” мест. Кроме того, здесь представлены также некоторые предложения из трактата Архимеда “Об измерении круга”.

В целом первая часть книги - теоретическая геометрия, включающая определения (совершения) основных планиметрических понятий и их свойства, сформулированные в виде “видений”-теорем. Как считают исследователи, первую книгу рукописи Иван Елизарьев составил самостоятельно, положив в основу геометрический материал и методику изложения уже упоминавшегося учебника Рамуса и другие источники, творчески их переработав.

Содержание второй книги. Обе части второй книги посвящены геометрическим построениям на плоскости. Изредка в текст вкраплены задачи вычислительного характера. Всего в книге приведено 132 “провидения”- построения. Структура каждой задачи-построения такова. После формулировки задачи, как правило, описывается процесс построения, начинающийся с такой фразы: “Чтобы провидети фигуру...” (чтобы построить фигуру...). Часто построение сопровождается элементами доказательства, ссылками на соответствующую теорию, изложенную в первой части книги. К каждой задаче приводится чертеж.

Первые 12 “видений” являются тем, что мы называем “элементарными задачами на построение”: проведение параллельной и перпендикулярной прямых через данные точки на и вне прямой, деление пополам отрезка и угла и др. Далее следует цикл построений, связанных с пропорциональностью отрезков (13 - 24), например: данный отрезок разделить “со едином нужным ко меншом основанием” или “со погибелью да со меншими основаниями” (в среднем и крайнем отношении). После этого рассматриваются построения равновеликих фигур (26-30). Следующий цикл построений связан с окружностью и кругом: от построения касательной из внешней точки до нахождения центра данной дуги круга.

“Видения” 35-49 посвящены построению треугольников по различным данным элементам и перемежаются задачами на вычисление. Например: “44. Вычисление площади треугольника по основанию и высоте, а также по трем сторонам”. Вычисления производятся по формуле Герона, при этом указывается, что так можно вычислить площадь любого многоугольника, разбив его на треугольники.

Задачи 50-64 - это задачи на построение параллелограмма и его частных видов. Большинство из них сопровождается вычислительными задачами. Так, после задачи 54 о построении прямоугольника по данным сторонам следует задание 55: вычислить площадь прямоугольника по данным предыдущей задачи. Цикл задач 66-72 начинается с задачи о построении круга по заданным условиям, остальные задачи цикла - вычислительные, в основном на определение площадей различных фигур, связанных с кругом. Остальные задачи этой части книги (73-99) - построение треугольников, прямоугольников, квадратов, ромбов по различным условиям.

Четвертая часть книги (т.е. вторая часть второй книги) включает 33 “видения” - построения (100-132). В основном это задачи на построение равновеликих фигур. Как считают специалисты, в основу второй книги рукописи Елизарьева положен уже упоминавшийся учебник Спейделя с изменениями и добавлениями.

Обшая оценка учебника геометрии Ивана Елизарьева. Даже неполное описание, которое нами представлено, говорит о необычайном для того времени богатстве и разнообразии как теоретической книги рукописи, так и книги, посвященной построениям. Рукопись основана на прогрессивных для того времени западноевропейских учебниках, в которых реализованы наиболее современные методические требования начала XVII в.

Учебник геометрии Ивана Елизарьева меняет наши представления об очень низком уровне геометрических познаний, характерных для России того времени, сделанных на основе анализа других сохранившихся рукописей. Само существование такой книги позволяет сделать вывод о наличии в России высокообразованных людей, не только интересовавшихся математикой, но и способствовавших распространению математических знаний, что в свою очередь свидетельствует о потребности российского общества в математическом образовании и появлении условий для их удовлетворения. По-своему сенсационен тот факт, что в начале XVII в. в России был подготовлен учебник, вполне пригодный для обучения геометрии и отвечающий самым современным для того времени методическим требованиям.

К сожалению, рукопись Елизарьева не была издана и не получила, по-видимому, распространения в списках, т.е. не оказала непосредственного влияния на учебную математическую литературу как своего, так и последующего времени. Она представляет в значительной мере преимущественно исторический интерес, определяя высший уровень математических знаний России XVII в. Учебник геометрии Ивана Елизарьева более чем на столетие опередил свое время: он превосходит не только все известные русские геометрические рукописи XVII в., но и геометрическую часть “Арифметики” Л.Ф.Магницкого и даже учебники геометрии первой четверти XVIII в. Лишь в его середине появились руководства по геометрии, равноценные по содержанию рукописи Елизарьева.

Источник: Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. I: век восемнадцатый. - Ростов-н/Д: Изд-во Рост. пед.ун-та, 1997. - С.68-74.  


См.подробнее:
Белый Ю.А., Швецов К.И. Об одной русской геометрической рукописи первой четверти XVII в.// Историко-математические исследования. 1959. Вып. XII. С.185-244.

Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. -М.: Наука, 1969. С.42-51.
ЧТО ПОСМОТРЕТЬ

Как учились в Древней Руси


ЧТО ПОЧИТАТЬ