Menu Color:
Main Color:
Background Color:
Background Image:
  • background1
  • background2
  • background3
  • background4
  • background5
  • background6
  • background7
  • background8
  • background9
2.2.5. Арифметические рукописные учебники XVII в.: "строка фальшивая"

Правило ложного положения. Это правило называлось также "статья вымышленная или затейчивая", а также "фальшивая". Математическая сущность задач, решаемых с помощью правила ложного положения, - решение уравнений первой степени. Причем в арифметических рукописях XVII в. различались два вида этого правила: правило одного ложного положения и правило двух ложных положений.

Правило одного ложного положения применимо к уравнениям вида ax = c. Современные способы решения этого уравнения тогда не были известны. Применялся следующий алгоритм его решения:
1) искомому х приписывалось произвольное "ложное" значение х1;
2) ах1 обозначалось через с1;
3) истинное значение х находилось с помощью тройного правила из пропорции .

Надо сказать, что сформулированный алгоритм решения задач с помощью правила одного ложного положения практически не встречается в рассматриваемых рукописях. Гораздо чаще употребляется правило двух ложных положений, с помощью которого решаются задачи, сводящиеся к уравнению вида ax + b = c. Математическая сущность его такова: искомой величине х даются последовательно какие-либо 2 значения х1 и х2. Тогда из исходного уравнения и уравнения ax1 + b = c1, ax2 + b = c2 следует, что .

Если с - с1 = d1, c - c2 = d2, то .

Естественно, эти выкладки невозможны в старинных арифметических рукописях. Там давалось только словесное предписание, соответствующее последней формуле. Так как авторы не знали отрицательных чисел, то правило формулировалось отдельно:
1) для случая, когда с1 и с2 оба больше или меньше, чем с (тогда d1 и d2 одинакового знака);
2) для случая, когда d1 и d2 разных знаков (одно из чисел с1, с2 больше с, а другое меньше). В первом случае х находится путем деления разностей, во втором - сумм.

Правило ложного положения считалось вершиной математического искусства: "Статья цыфирная еже именуется вымышленная или затейчивая высокого остропамятного разума, и люботрудного умного прилежания. Ее же фалшивой строкой нарекоша, иже ни малым чим погрешается". Популярность ее объясняется тем, что в отсутствие общей теории решения уравнений оно позволяло находить точное решение уравнений первой степени с одним или несколькими неизвестными, не составляя самих уравнений. Оно применялось и сейчас применяется также для приближенного вычисления корней нелинейных уравнений и его можно найти в любом современном курсе приближенных вычислений.

Правило ложного положения описано в старинных арифметических рукописях подробно, детально проиллюстрировано многочисленными задачами. С его помощью решаются и те из них, которые сводятся к системам нескольких уравнений с соответствующим числом неизвестных. Приведем пример:
Задача. "Два купца Петр и Иван желают приобрести двор ценой 38 рублей. У Петра недостает до этой суммы 2/3 наличных денег Ивана, а у Ивана 3/4 наличности Петра. Какова наличность того и другого?"

Задача может быть решена с помощью системы уравнений
, где х - наличность Петра, y - наличность Ивана.

В старинных рукописях дается такое решение: в качестве первого ложного положения берется х1 = 20, тогда y2=27, что дает в левой части второго уравнения системы 42, т.е. на d2=4 больше, чем следует. После этого x и y вычисляютя согласно сформулированным ранее правилам: .

Источник: Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. I: век восемнадцатый. - Ростов-н/Д: Изд-во Рост. пед.ун-та, 1997. - С.56-58. 


См.подробнее:
Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. -М.: Наука, 1969. С.23-41.

ЧТО ПОСМОТРЕТЬ

Как учились в Древней Руси


ЧТО ПОЧИТАТЬ