Menu Color:
Main Color:
Background Color:
Background Image:
  • background1
  • background2
  • background3
  • background4
  • background5
  • background6
  • background7
  • background8
  • background9
2.2.3. Арифметические рукописные учебники XVII в.: инструментальный счет

За статьями о действиях над целыми числами следуют достаточно интересные статьи об инструментальном счете. В арифметических рукописях обычно кратко рассматриваются два способа инструментального счета - “счет костьми” и “дощаной счет”. Им уделено неодинаковое внимание: “Об-ширная глава “о счете костьми” во всех списках состоит из наставления, как подготовить для счета стол, и из отдельных “статей” о 4 действиях и их проверке. Раздел “о дощаном счете” короче: в нем говорится только, как сделать прибор, и дается самая общая оценка его”. Обе системы инструментального счета в течение некоторого времени сосуществовали и даже были взаимосвязаны: многие функции дощаного счета, равно как и используемая терминология, были прямо заимствованы из счета костьми. Тем не менее, дощаный счет, явившийся прообразом русских счетов, сохранившихся как вычислительный инструмент до сих пор, можно считать оригинальным отечественным изобретением, имевшим многовековое употребление и оставившим значительный след в нашем языке, породив такие выражения, как “сбрасывать со счетов”, “сводить счеты”, “прикидывать”, “скостить” и др.

Счет костьми. В арифметических рукописях изложению действий с костьми предшествует описание изготовления счетной таблицы.

“Возьми перед себя стол или доску, на чем тебе пригодитца великий счет считати. И прочерти черту мелом к себе концом, да поперек 6 черт или 7, или боле, каков счет хошь считать[т.е. в зависимости от величины подлежащих счислению чисел] и снизу от себя отчерти 3 черты простых, а на четвертой черте на споях накресть перечерти для памяти [т.е. пометь косым крестом пересечения вертикальных линий с 4-й, 7-й и т.д. горизонтальными] и буди ти ведомо первый крест туто кладутца 1000, а на другом кресту кладутца 1000000, а впредь так же. А кости клади по чертам или пиняги [т.е. кости или жетоны будешь раскладывать на горизонтальных линиях]. На нижней черте кладетца всякая кость за 1 до 4 костей, а придется положити 5, и ты положи 1 кость выше первые черты под другую меж чертами. Ту 1 кость держит 5 [т.е. на нижней горизонтальной линии каждая кость соответствует единице. На ней откладываются числа от 1 до 4. Пятерки откладываются тоже одной костью, но над первой горизонтальной линией в шпации], а на другой черте всякая кость держит по 10, а пригодитца положити 50 и ты положи 1 кость выше другие черты под третею меж чертами. А впредь також клади. С черты на черту вверх ступай вдесятеро, а промеж чертами впятеро наполовину”.

Итак, на доске или столе проводили мелом несколько горизонтальных линий для единиц, десятков, сотен и т.д., следуя снизу вверх. На каждую линию клали до 4 костей. Если кость помещалась между линиями, то она означала 5 единиц разряда, который откладывается на более близкой к вычислителю линии. Вертикальные линии разделяли доску на несколько столбцов, в которые клали кости, соответствующие компонентам действий.

Далее в особых статьях излагаются 4 действия в такой последовательности: сложение, умножение, вычитание, деление. Правила выполнения каждого из них излагались очень подробно и сопровождались примерами и специальными пояснительными чертежами, из которых видно, что для разных действий требовались и разные таблицы. В качестве примера показано сложение 28 и 76.

Действие умножения показывается на примере умножения 96 на 66.

Для вычитания в таблице нужно прочертить 2 вертикальные черты, слева откладывалось уменьшаемое, далее - вычитаемое, последнее поле предназначалось для разности. В качестве примера приводится решение следующей задачи:
Задача. “Занял 994 рубля, платил 543 рубля, осталось 451 рубль. Считай так и черти”.

Деление производилось с помощью такой же таблицы, как и вычитание, на примере:
Пример. Раздели 23 456 рублей на 23 жеребья [части].
а)

Делимое откладывалось в среднем поле, делитель с левой стороны, причем на уровне верхних костей делимого. После этого нужно было приговаривать: “сколько ждо 23 из 23 - придет одинова”. Результат откладывался на той черте, где находились единицы делителя. После этого делитель перемещался ниже на черту и снова производилось деление таким же образом, с присоединением остатка от деления к нижеследующему числу. Остаток рассчитывался в доли, и деление продолжалось. В приведенном примере переписчик действие “не закончил, хотя в тексте оно изложено очень подробно, шаг за шагом”. Приведем реконструкцию следующих шагов деления:
б)

в)

г)

Итак, частным от деления 23456 рублей на 23 является число 1019 с остатком 19.

Заметим, что через все списки арифметических рукописей проходит одна и та же редакция счета костьми, иллюстрирующаяся одними и теми же примерами, даже ошибки и неточности в ряде случаев повторяются. Древний счет костьми, в основе которого лежит старинная пятеричная система счисления, в Европе сохранялся значительно дольше, чем в России, где он был достаточно оперативно и рано заменен счетами, в основе устройства которых лежат десятичный принцип счисления и дощаный счет.

Дощаный счет. Статья о дощаном счете имеется практически во всех рукописях, причем изложение сопровождается изменяющимися чертежами, которые представляют значительный интерес, в частности тем, что характеризуют процесс изменения конструкции русских счетов.

Наиболее сложные и, по-видимому, наиболее старые по типу - счеты с 4 полями, которые исследователи относят к самобытным отечественным счетным инструментам. Они специально приспособлены к нуждам “сошной арифметики”: поземельный налог взимался в зависимости от количества, качества и даже социального положения владельца земли, которую переводили в условные единицы - сохи. Этим занимались особые чиновники, для которых составлено специальное руководство “Книга сошному письму”.

В каждом из 4 полей было протянуто по 14 параллельных веревок или проволок. Если проволоки предназначались для счета целых чисел, то на них нанизывалось по 9 (иногда 10) костяшек; на других - меньшее количество. В одном из полей имелась проволока с 4 и 3 проволоки с 1 костью каждая. С их помощью велся счет четвертям, полчетвертям, пол-полчетвертям. Там, где имелась проволока с 3 костями, счет велся третями, полтретями и т.д. Не будем детально характеризовать особенности счета на этом приборе, т.к. сошное письмо во второй половине XVII в. вышло из употребления, и этот прибор представляет лишь исторический интерес.

Русские же счеты не исчезли вместе с сошным письмом. Напротив, в XVII в. они прочно вошли в житейский обиход. В исторической литературе имеются свидетельства об их широком распространении на Руси: “Все русские, вплоть до беднейших крестьян, очень опытны в счетном искусстве. Они пользуются для этого счетной доской <...>, она настолько общеупотребительна, что ее можно встретить даже соединенной со всякого рода карманными зеркальцами, досками для письма или календарями”. Здесь речь идет о счетах, устройство которых полностью совпадает с устройством современных вариантов и имевших широкое распространение в XVII в. Наиболее вероятно, что счеты возникли в XVI в. в форме уже описанного прибора для сошного письма. В XVII в., по-видимому, наибольшее распространение получили счеты, состоящие из двух полей, на которые нанизывались костяшки. Каждое из полей - аналог современных счетов. Сфера их применения - прежде всего денежные расчеты.

Практически во всех рукописных арифметиках XVII в. приводятся описания одной из разновидностей счетов с чертежами и правилами вычисления.

Источник: Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. I: век восемнадцатый. - Ростов-н/Д: Изд-во Рост. пед.ун-та, 1997. - С.47-52.  


См.подробнее:

Спасский И.Г. Происхождение и история русских счетов // Историко-математические исследования. 1952. Вып. V. C.269-420.

ЧТО ПОСМОТРЕТЬ

Как учились в Древней Руси


ЧТО ПОЧИТАТЬ